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 Nota: Se procura por o holomorfo de um fungo, veja Teleomorfo.

Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo ${\displaystyle \mathbb{C}}$ com valores em ${\displaystyle \mathbb{C}}$ que são diferenciáveis em cada ponto.^[1]

Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",^[1] entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto ${\displaystyle a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}}$" significa não só diferenciável em ${\displaystyle a}$, mas diferenciável em algum disco aberto centrado em ${\displaystyle a}$, no plano complexo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Se ${\displaystyle U}$ é um subconjunto aberto de ${\displaystyle \mathbb{C}}$ e ${\displaystyle f:U\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}}$ é uma função^[2], dizemos que ${\displaystyle f}$ é diferenciável complexa ou ${\displaystyle \mathbb{C}}$-diferenciável no ponto ${\displaystyle z_0\in <!--\; \in \; -->U}$ se o limite

${\displaystyle f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to <!--\; \to \; -->z_0}{lim}\frac{f(z)-<!--\; -\; -->f(z_0)}{z-<!--\; -\; -->z_0}}$

existir.^[3]

Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de ${\displaystyle z_0}$, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número ${\displaystyle f^{\prime }(z_0)}$. Intuitivamente, se ${\displaystyle f}$ é diferenciável complexa em ${\displaystyle z_0}$ e nas proximidades ao ponto ${\displaystyle z_0}$ da direção ${\displaystyle r}$, então as imagens se aproximarão ao ponto ${\displaystyle f(z_0)}$ a partir da direção ${\displaystyle f^{\prime }(z_0)r}$, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.^[3]

Se ${\displaystyle f}$ é complexa diferenciável em cada ponto ${\displaystyle z_0\in <!--\; \in \; -->U}$, dizemos que ${\displaystyle f}$ é holomorfa em ${\displaystyle U}$.^[1]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:

• ${\displaystyle (f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }}$
• ${\displaystyle (fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }}$

etc. ^[3]

Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:

• Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.^[1]
• Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.^[3] O argumento, aqui, é o ângulo ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$ obtido pela transformação ${\displaystyle z=r(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$

Pelas propriedades acima, a função ${\displaystyle f:\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}_0^{+}}$, dada por ${\displaystyle f(z)=|z|}$ não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto^[3]).

Além disso, se uma função ${\displaystyle f:U\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}}$ é holomorfa no aberto ${\displaystyle U\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}}$ e é dada por${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$, então satisfaz as equações de Cauchy-Riemann ${\displaystyle (\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}}$ e ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x})}$ para todo o ${\displaystyle z_0\in <!--\; \in \; -->U}$. O recíproco não é, em geral, verdade. A condição torna-se necessária e suficiente se for exigido que ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sejam funções de classe ${\displaystyle C^1}$no ponto ${\displaystyle (x_0,y_0)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^2}$ tal que ${\displaystyle z_0=x_0+i{y}_0}$.

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Função antiholomorfa

Referências

• Portal da matemática

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